本記事ではリプシッツ連続な関数の性質について述べます．適宜更新していく予定です．
リプシッツ連続であることの定義
関数がリプシッツ連続である事の定義は，次のとおりです．
$(X,d_X),(Y,d_Y)$ を距離空間とする．$f:X \to Y$がリプシッツ連続であるとは，ある定数 $L \geq 0$ が存在して次が成り立つことをいう：$$\forall x_1,x_2 \in X,\ d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L\cdot d_X(x_1,x_2)$$ この $L$ をリプシッツ定数という．また，リプシッツ定数を明示して $f$ は $L$-リプシッツ連続であるなどという．
リプシッツ連続な関数の性質
他の連続性との関係
リプシッツ連続な関数は一様連続．したがって特に連続でもある．
証明
$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間，$f:X \to Y$ を $L$-リプシッツ連続な関数とする．$L=0$ なら $f$ は定値写像なので明らか．$L>0$ の場合を考える．$\varepsilon > 0$ を任意にとり，$\delta := \frac{\varepsilon}{L}$ と定める．このとき，$d_X(x_1,x_2)<\delta$ なる任意の $x_1,x_2 \in X$ に対し，$$\begin{eqnarray}d_Y(f(x_1),f(x_2)) &\leq& L \cdot d_X(x_1,x_2)\\ &<& L \cdot \delta = \varepsilon\end{eqnarray}$$となるから，$f$ は一様連続であることがわかる．□
リプシッツ連続な関数の合成
$(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$ を距離空間， $f:X \to Y, g:Y \to Z$ はそれぞれ $L_1$-リプシッツ連続，$L_2$-リプシッツ連続とする．このとき，合成関数 $g \circ f$ は $L_1L_2$-リプシッツ関数である．
証明
$x_1,x_2 \in X$ を任意にとる．$$\begin{eqnarray}d_Z(g \circ f(x_1), g \circ f(x_2)) &\leq& L_2 \cdot d_Y(f(x_1),f(x_2)) \\&\leq& L_1L_2\cdot d_X(x_1,x_2) \end{eqnarray}$$となるから$g \circ f$ は $L_1L_2$-リプシッツ関数である．□
