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解析学

アルファ平均

本記事ではα-平均という,相加・相乗・調和平均を一般化した概念を紹介します.また,その性質から有名な相加・相乗・調和平均の関係式が導かれることを確かめます.

α-平均の定義とその例

定義

定義 1

nN2, h:R>0R に対し,mh:R>0nR>0mh(x1,,xn)=h1(1n(h(x1)++h(xn)))と定める.これが well-defined となるとき,mh(n 次の) h-平均という.

この記事では詳細を省きますが,scale free と呼ばれる次の性質:x1,,xnR>0, cR, mh(cx1,,cxn)=cmh(x1,,xn)をみたす関数 h は アファイン変換(定数をかける,または足すこと)による違いを除いてh(x)=xq (q0) または h(x)=logx に限られることが知られています.そこで,α-関数と呼ばれるものを次のように定めます.

定義 2

αR に対し,ϕα:R>0Rϕα(x):={x1α2(α1)logx(α=1)と定め,これを α-関数とよぶ.

この α-関数を用いて,α-平均は次のように定義されます.

定義 3

mα:=mϕαと書くことにし,これを α-平均という.

これで表題の α-平均を定義することができました.次に具体例を見てみましょう.

具体例

α=1 のとき  m1(x1,,xn)=1n(x1++xn)

α=1 のとき m1(x1,,xn)=exp(1n(logx1++logxn))=(x1xn)1n
α=3 のとき m3(x1,,xn)=n(1x1++1xn)1

となり,上から順に相加平均・相乗平均・調和平均となることが分かります.

α-平均の性質

α-平均に関して次のことが成り立ちます.

定理 4

mα(x1,,xn)α に関して単調減少連続関数である.

証明

x1,,xnR>0 を任意に取る.q:=1α2とおくと,mα(x1,,xn)={(x1q++xnqn)1q(q0)(x1xn)1n(q=0)と書けるのでこれが q に関して単調増加連続関数であることを示せば良い.まず連続性を示す.q=0 での連続性を示せば十分である.limq0log(x1q++xnqn)1q=limq0log(x1q++xnq)lognqだが,ここでロピタルの定理より右辺はlimq0log(x1q++xnq)lognq=limq0x1qlogx1++xnqlogxnx1q++xnq=log(x1xn)1nとなる.従ってlimq0(x1q++xnqn)1q=(x1xn)1n が分かり,連続性が示せた.次に単調増加性を示す.f(q):=log(x1q++xnqn)1qと定め,qf(q)0 (qR{0}) をいえばよい.計算によりqf(q)=nq2(x1q++xnq)(x1qlogx1q++xnqlogxnqnx1q++xnqnlogx1q++xnqn)となるが, tlogt (t>0) の凸性とJensenの不等式から括弧内は非負であることが分かる.よってf(q)0がいえ,単調増加性が示せた.□

この定理と上でみた 3 つの例から「調和平均 相乗平均 相加平均」という有名な関係式が従います.また,証明中でJensenの不等式の等号成立条件を考えることで,これらの平均が等しくなる必要十分条件が x1=x2==xn であることも分かります.