アルファ平均｜マスピリカ

本記事では $α$ -平均という，相加・相乗・調和平均を一般化した概念を紹介します．また，その性質から有名な相加・相乗・調和平均の関係式が導かれることを確かめます．

1 $α$ -平均の定義とその例
- 1.1 定義
- 1.2 具体例
2 $α$ -平均の性質

$α$ -平均の定義とその例

定義

定義 1

$n \in N_{\geq 2}, h : R_{> 0} \to R$ に対し， $m_{h} : {R_{> 0}}^{n} \to R_{> 0}$ を $\begin{aligned} m_{h} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ = h^{- 1} (\frac{1}{n} (h (x_{1}) + \dots + h (x_{n}))) \end{aligned}$ と定める．これが well-defined となるとき， $m_{h}$ を ( $n$ 次の) $h$ -平均という．

この記事では詳細を省きますが，scale free と呼ばれる次の性質: $\begin{matrix} \forall x_{1}, \dots, x_{n} \in R_{> 0}, \forall c \in R, \\ m_{h} (c x_{1}, \dots, c x_{n}) = c m_{h} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{matrix}$ をみたす関数 $h$ はアファイン変換（定数をかける，または足すこと）による違いを除いて $h (x) = x^{q} (q \neq 0)$ または $h (x) = \log x$ に限られることが知られています．そこで， $α$ -関数と呼ばれるものを次のように定めます．

定義 2

$α \in R$ に対し， $ϕ_{α} : R_{> 0} \to R$ を $ϕ_{α} (x) := {\begin{cases} x^{\frac{1 - α}{2}} & (α \neq 1) \\ \log x & (α = 1) \end{cases}$ と定め，これを $α$ -関数とよぶ．

この $α$ -関数を用いて， $α$ -平均は次のように定義されます．

定義 3

$m_{α} := m_{ϕ_{α}}$ と書くことにし，これを $α$ -平均という．

これで表題の $α$ -平均を定義することができました．次に具体例を見てみましょう．

具体例

$α = - 1$ のとき $m_{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n})$

$α = 1$ のとき $\begin{array}{rcl} m_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = & \exp (\frac{1}{n} (\log x_{1} + \dots + \log x_{n})) \\ = & (x_{1} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}} \end{array}$
$α = 3$ のとき $m_{3} (x_{1}, \dots, x_{n}) = n \cdot {(\frac{1}{x_{1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}})}^{- 1}$

となり，上から順に相加平均・相乗平均・調和平均となることが分かります．

$α$ -平均の性質

$α$ -平均に関して次のことが成り立ちます．

定理 4

$m_{α} (x_{1}, \dots, x_{n})$ は $α$ に関して単調減少連続関数である．

証明

$x_{1}, \dots, x_{n} \in R_{> 0}$ を任意に取る． $q := \frac{1 - α}{2}$ とおくと， $m_{α} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} {(\frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n})}^{\frac{1}{q}} & (q \neq 0) \\ (x_{1} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}} & (q = 0) \end{cases}$ と書けるのでこれが $q$ に関して単調増加連続関数であることを示せば良い．まず連続性を示す． $q = 0$ での連続性を示せば十分である． $\begin{aligned} lim_{q \to 0} \log {(\frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n})}^{\frac{1}{q}} \\ = lim_{q \to 0} \frac{\log (x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}) - \log n}{q} \end{aligned}$ だが，ここでロピタルの定理より右辺は $\begin{aligned} lim_{q \to 0} \frac{\log (x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}) - \log n}{q} \\ = lim_{q \to 0} \frac{x_{1}^{q} \log x_{1} + \dots + x_{n}^{q} \log x_{n}}{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}} \\ = \log (x_{1} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}} \end{aligned}$ となる．従って $lim_{q \to 0} {(\frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n})}^{\frac{1}{q}} = (x_{1} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}}$ が分かり，連続性が示せた．次に単調増加性を示す． $f (q) := \log {(\frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n})}^{\frac{1}{q}}$ と定め， $\frac{\partial}{\partial q} f (q) \geq 0 (q \in R ∖ {0})$ をいえばよい．計算により $\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial q} f (q) = & \frac{n}{q^{2} (x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q})} \\ (\frac{x_{1}^{q} \log x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q} \log x_{n}^{q}}{n} \\ - \frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n} \log \frac{x_{1}^{q} + \dots + x_{n}^{q}}{n}) \end{aligned}$ となるが， $t \log t (t > 0)$ の凸性とJensenの不等式から括弧内は非負であることが分かる．よって $f^{'} (q) \geq 0$ がいえ，単調増加性が示せた．□

この定理と上でみた $3$ つの例から「調和平均 $\leq$ 相乗平均 $\leq$ 相加平均」という有名な関係式が従います．また，証明中でJensenの不等式の等号成立条件を考えることで，これらの平均が等しくなる必要十分条件が $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ であることも分かります．