リプシッツ連続の定義とその性質

本記事ではリプシッツ連続な関数の性質について述べます．適宜更新していく予定です．

1 リプシッツ連続であることの定義
2 リプシッツ連続な関数の性質
- 2.1 他の連続性との関係
- 2.2 リプシッツ連続な関数の合成

リプシッツ連続であることの定義

関数がリプシッツ連続である事の定義は，次のとおりです．

定義 1

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とする． $f : X \to Y$ がリプシッツ連続であるとは，ある定数 $L \geq 0$ が存在して次が成り立つことをいう： $\forall x_{1}, x_{2} \in X, d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) \leq L \cdot d_{X} (x_{1}, x_{2})$ この $L$ をリプシッツ定数という．また，リプシッツ定数を明示して $f$ は $L$ -リプシッツ連続であるなどという．

リプシッツ連続な関数の性質

他の連続性との関係

命題 2

リプシッツ連続な関数は一様連続．したがって特に連続でもある．

証明

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間， $f : X \to Y$ を $L$ -リプシッツ連続な関数とする． $L = 0$ なら $f$ は定値写像なので明らか． $L > 0$ の場合を考える． $ε > 0$ を任意にとり， $δ := \frac{ε}{L}$ と定める．このとき， $d_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ$ なる任意の $x_{1}, x_{2} \in X$ に対し， $\begin{array}{rcl} d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) & \leq & L \cdot d_{X} (x_{1}, x_{2}) \\ < & L \cdot δ = ε \end{array}$ となるから， $f$ は一様連続であることがわかる．□

リプシッツ連続な関数の合成

命題 3

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y}), (Z, d_{Z})$ を距離空間， $f : X \to Y, g : Y \to Z$ はそれぞれ $L_{1}$ -リプシッツ連続， $L_{2}$ -リプシッツ連続とする．このとき，合成関数　 $g \circ f$ は $L_{1} L_{2}$ -リプシッツ関数である．

証明

$x_{1}, x_{2} \in X$ を任意にとる． $\begin{array}{rcl} d_{Z} (g \circ f (x_{1}), g \circ f (x_{2})) & \leq & L_{2} \cdot d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) \\ \leq & L_{1} L_{2} \cdot d_{X} (x_{1}, x_{2}) \end{array}$ となるから $g \circ f$ は $L_{1} L_{2}$ -リプシッツ関数である．□