円に内接する面積最大の三角形

円に内接する三角形のうち，面積が最大となるのは正三角形であるということが知られています．本記事ではこのことを証明します．

1 証明
- 1.1 証明１（イェンセンの不等式を利用）
- 1.2 証明２
2 一般化

証明

半径 $1$ の円を考え，その中心を $O$ とする．また， $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ をその円周上の点とする．図１のように角 $P_{1} O P_{2}, P_{2} O P_{3}, P_{3} O P_{1}$ をそれぞれ $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ とする．

図1

このとき $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ がなす三角形の面積 $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ は $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) = \frac{1}{2} (\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \sin θ_{3})$ で表される．

$θ_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3)$
$θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} = 2 π$

の下で $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ を最大化する $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ を求めればよい．

証明１（イェンセンの不等式を利用）

簡単な考察によりある $i \in {1, 2, 3}$ で $θ_{i} > π$ ならば $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ は最大とならないことが分かるので，既に上で述べた条件に加えて $\forall i \in {1, 2, 3}, θ_{i} \leq π$ を仮定してよい． $\sin : [0, π] \to R, t \mapsto \sin t$ の凸性からイェンセンの不等式が使えて， $\begin{aligned} S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) \\ = \frac{1}{2} (\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \sin θ_{3}) \\ \leq \frac{1}{2} (3 \sin \frac{θ_{1} + θ_{2} + θ_{3}}{3}) \\ = \frac{3}{2} \sin \frac{2 π}{3} \\ = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \end{aligned}$ となる．等号成立の必要十分条件は $θ_{1} = θ_{2} = θ_{3} = \frac{2 π}{3}$ であり，円に内接する面積最大の三角形は正三角形であることが分かった．

証明２

$θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ が動く領域のコンパクト性と $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ の連続性から $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ を最大化する $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ の存在が従う．あとは正三角形以外の三角形では面積が最大とならないことを示せばよい．対称性から $θ_{1} \neq θ_{2}$ と仮定し $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ が最大値でないことを確かめれば十分である．いま $θ := (θ_{1} + θ_{2}) / 2$ とすると $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) < S (θ, θ, θ_{3})$ だから $S (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ が最大値でないことがわかる（図２参照）．